Los números y sus representaciones (Ficha del profesor)


Los naturales N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...}

Al principio sólo fueron los números naturales, y con ellos se podían realizar las operaciones de suma y producto
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Si modificas los números A y B podrás ver que los valores que obtienes para la suma y el producto siempre son números naturales, pero no se pueden restar algunos números (cuando el valor restado es mayor que el número inicial). Cuando la operación o los números no estén permitidos se verán de color rojo.

Para resolver el problema de la resta se introduce otro conjunto de números:

Los enteros Z = {...-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...}

Ahora podemos restar cualquier par de números enteros.
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Si modificas los números A y B podrás ver que los valores que obtienes para la suma, la resta y el producto siempre son números enteros, pero no se pueden dividir algunos números (cuando la división no es exacta). Cuando la operación o los números no estén permitidos se verán de color rojo.

Para resolver el problema de la división se introduce otro conjunto de números:

Los racionales Q = {n/d} donde n es un entero y d es un natural

Los racionales definen todos los números decimales que se pueden escribir con un número finito de cifras decimales o infinitas cifras decimales periódicas. Se representan mediante fracciones. Veamos una forma sencilla de visualizar una fracción:

También podemos hacer operaciones con ellos. Veamos la suma:

Ahora podemos dividir cualquier par de números racionales. Y representarlas en la recta real:
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Si modificas los números n y d podrás ver que los valores que obtienes para la suma, la resta, el producto y la división siempre son números racionales, pero no se pueden hacer raíces cuadradas para algunos números (cuando la raíz no es exacta).

Para resolver el problema de las raíces cuadradas y otros decimales de infinitas cifras no periódicas se introduce otro conjunto de números: Los irracionales

Los iracionales I son todos los números que pueden expresarse como números decimales, pero con infinitas cifras decimales no periódicas.


Para representar estas raíces podemos hacer lo siguiente:
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Finalmente, todos los conjuntos de números anteriores se agrupan en un conjunto contenedor de todos ellos:

Los reales R son todos los racionales y los irracionales



Los números y sus representaciones (Ficha del alumno)


Los naturales N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...}

Realiza las siguientes operaciones, comprobando después el resultado con el applet
a) 2 + 5 b) 7 - 3 c) 6 · 8 d) 5 - 6 e) 8 : 2 f) 7: 3
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¿Son todos los resultados números naturales?

Los enteros Z = {...-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...}

Realiza las siguientes operaciones, comprobando después el resultado con el applet
a) -2 + 5 b) 7 - 3 c) 3 · (-2) d) 5 - 6 e) 8 : 2 f) 7: 3

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Los racionales Q = {n/d} donde n es un entero y d es un natural

Ejercicio 1: Escribe los siguientes números como una fracción si puedes e indica cuando no puedas:
a) 0,32 b) 5,4444... c) 7 d) -2 f) 8,9767676 g) 0,101001000100001... h) la raíz de 2
Represéntalos y compruebalo en el applet
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Ejercicio 2: Representa las siguientes fracciones en la recta real usando este fichero de geogebra:
a) 2/3 b) 5/4 c) 21/7

Los iracionales I son todos los números que pueden expresarse como números decimales, pero con infinitas cifras decimales no periódicas.

Representa las raíces de los siguientes números y compruebalo en el applet
a) 2 b) 5 c) 12 d) 20
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Los reales R son todos los racionales y los irracionales

Clasifica los números del applet. Puedes hacer varios intentos y cambiar los números aleatoriamente pulsando F9
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Esta construcción es una traducción del original realizado por el Grupo XeoDin

Unidad didáctica realizada por Francisco Maíz Jiménez (mayo 2011)